Darth> А есть пространства, определяемые точками?
Можно. Но пространство это алгебраический объект. Чрезвычайно абстрактный. Есть определение пространства от самого простого (к примеру, пространство решений или домейн значений, когда всё перечисленно и подчиняется одному правилу — есть решение или часть возможных значений). Точки — это геометрическое толкование и существует только потому, что удобно оказалось в соответствие координатам (точным числам, к примеру) удобно ставить в соответствие точку. В реальности (если можно назвать математику реальностью
) часто и пространство полиномов (даже в школе учат складывать, вычитать, делить и умножать полиномы), и простраство функций (функционал, к примеру, строить отображение из пространства ф-ций в пространство действительных чисел, самый известный функционал — определённый интеграл; оператор ставит в соответствие из пространства ф-ций в пространство ф-ций — неопределённый интерграл, дифференциал). Если на пространство накладывают систему ограниний (аксиом — через одну точку не принадлежащую прямой проходит получаем наше обычное, а, если больше, то Лобачевского-Римана), то там могут получиться очень интересные результаты — например, все объекты в этом пространстве будут отвечать особым критериям. На этом строятся многие доказательства.
Для многих пространств не существует геометрического аналога.
Darth> Ладно, верю (хоть это и не мой метод ), несмотря на то, что это утверждение непосредственно не следует из того, что декартово и банахово пространства определяются не точками . Но что же тогда такое "заданная характеристика" точки (кроме того, что она не имеет протяжённости), если пространство у нас не определено и существует только некоторая совокупность точек? Когда я говорю о пространстве, я имею в виду не координаты (метрика — дело важное, но не обязательное), но хотя бы базисные векторы. А как без них? Вот есть у нас точки, но где они? Или это уже совсем высокая математика?
Точка — базисный объект. Он задаётся. Не обязательно геометрическое понятие точки. Вот возьмём пространство полиномов. Это бесконечномерное пространство. И точка с координатами (2, 14, 0, -3, 37, 0, 0, ....) будет полиномом 37*x
4-3*x
3+14*x+2 — какие у этой точки размерности?
Ну и в геометрическом смысли часто через совокупность точек определяют фигуру, плоскость, кривую. Т.е. геометрическое тело. Само пространство обычно прозрачно. А фигура — нет.
Базисные векторы и есть система координат — определяют направление осей и единицу измерения.
Darth> Та-а-а-ак... Посмотрел определение Нульмерное пространство\" — Википедия rel="nofollow">нульмерного пространства: "Нульмерное пространство в смысле ind ― топологическое пространство, обладающее базой из множеств одновременно открытых и замкнутых в нём." Не понял слова "ind", "топологическое пространство" и "база". Перешёл по соответствующим ссылкам. Не помогло
Ты уже совсем в дебри лезешь.
Топология очень абстрактна. Если походить по статьям из твоей ссылки, то можно найти
Топологическое пространство — ВикипедияТопологи́ческое простра́нство — основной объект изучения топологии (термин «топология» в его рамках — см. ниже). Исторически, понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности.
Т.е. по хорошему, топологию надо или вместе, или после фальника давать — там теория меры. Но до этого надо и просто анализ поучить, меры всякие (Римана, Лебега и прочие). Иначе очень тяжко будет. Людей, которые могут сразу топологию учить очень мало. Либо уже математики с хорошей базой, которые освоили приём от общего к частному в полной мере, или гении.
Скажем, простой пример для иллюстрации того, с чем топология работает — буковка А и буковка Б топологически одинаковы. Как и П, Г, Ж, Э. О одинакова с первыми. А Ф стоит особняком. Потому, что топология в этом смысле изучает свойства — сколько раз можно разрезать букву, чтобы она осталась одним куском (не любым способом, а каким-то одним). Буква О станет после разреза топологически эквивалентна С, соответственно Г, Ж, З, К, П, Э и другим. Поэтому, топология присваивает топологические номера таким буквам. у Г, П — 0 (ни одного разреза). У О — 1. У Ф — 2. И т.д. Такая классификация кладёт у многих интуицию на фиг и вызывает разрыв шаблона.
Darth> Вообще я вам скажу, товарищи математики, что вы чё-то совсем от реальности оторвались: то точки у вас вне пространства висят, то одно и то же множество бывает одновременно открытым и замкнутым, то одно бесконечное множество больше другого бесконечного множества...
Математика давно работает сама на себя.
Ну и по ходу даёт другим ниструменты. Только даже у ближайших "младших" братьев физиков нет времени всё это дело изучить и научиться применять.
Сейчас физики будут пинать меня.
Но отрыва нет. Те же Алгебры Ли сейчас для теории струн и других используются вовсю — откуда, ты думаешь, взялись 13 измерений?
Darth> В вышеприведённой ссылке особенно понравилась фраза "Все нульмерные пространства вполне регулярны". Если не смотреть математическое определение вполне регулярного пространства, то такая фраза воспринимается как "все нульмерные пространства — совершенно обычное дело"
Дык, именно это и имеется ввиду — они обычны с точки зрения математики — про них всё уже известно. Если ты доказал это, то всё, работа окончена. Я уже рассказывал про базис Грёбнера в алгебре. Поэтому часто задача состоит в том, чтобы либо построить этот базис, либо доказать, что нельзя. Если построил, то всё — победа, можно идти на обед.
Доказал, что нельзя — значит пространство вовосе не такое простое. И надо проводить кучу работы. Но результат тоже огромный.
Darth> Поискал. Дошло, спасибо.
Не за что.
Но, чтобы подлить масла в огонь — посмотри на интегралы Лебега (или Стильтьеса). Там можно интегрировать, если имеется счётное количиство разрывов.
Это я не к тому, чтобы поиздеваться. Это просто показатель, что люди пытаются сильно обобщить многие теоремы и определения. Получается очень жизненно.
Darth> Да вот читал одно из (скорее всего канторовское). Но мне подход того доказательства не близок, так скажем. В Интернете не нашёл, там примерно так было. Возьмём да и занумеруем-ка все действительные числа (показан способ перехода от одного к другому), создав таким образом систему взаимно однозначного соответствия между каждым числом из R и N. Занумеровали? А вот вам теперь способ создать число, которое ещё не занумеровано: применим операцию логического отрицания (а=0 при b={1..9}; а=1 при b=0) к десятичному знаку уже имеющихся чисел из R, порядковый номер которого [десятичного знака] соответствует "номеру" соответствующего числа. Что, съели? Новое число-то явно отличается хоть в каком-нибудь десятичном знаке от ранее занумерованных. Так-то! На основании вышеизложенного мощность R больше мощности N.
А чего здесь такого? Мы занумеровали и показали, что из этого вылазит противоречие. Типичное доказательство от противного.
Darth> Так тут это... Вообще-то по условию задачи вначале были занумерованы именно все (pronounced "все", stands for "все" ) действительные числа... Теперь неплохо бы доказать, что новое число изначально не вошло в перечень тех "всех". Но идём дальше: пусть бы оно и не вошло, но что мешает нам занумеровать его после его вычисления предложенным способом? Или биекция предполагает, что если заданы соответствия Ri — Ni и Ri + 1 — Ni + 1, то обязательно должно выполняться, что если Ri < Ri + 1, то и Ni < Ni + 1? Да не вопрос: а мы возьмём да и перенумеруем все последующие числа R! Нам же не сложно, мы ж и так в обоих случаях с бесконечностями работаем, делов-то
Дык, в доказательстве от противного так и делают. Предпологают, что посылка верна. И получают из этого противоречие. Что означает, что из посылки может следовать, что угодно. Т.е. посылка здесь и не при чём.
Darth> Короче, либо я видел только выжимку из доказательства, поэтому в ней были опущены важные моменты, либо существует более строгое доказательство (например, ваш намёк на "всюду-разрывность" функции Дирихле вполне себе может сойти за таковое).
Ну, там может быть опущены некоторые важные детали строгости, которые важны для математиков, но сама суть передана верно.
Darth> Но, вообще говоря, а на практике какая разница-то? Вот вы можете предложить такую реальную физическую задачу, в которой разница в мощности счётного и несчётного множества будет иметь значение?
Дык, точки разрыва при том же интегрировании и неустойчивое поведение ф-ции — вот два случая, которые могут привести к любым результатам. Например, какова площадь, ограниченная ф-цией f(x)=log(x) на отрезке [0,1]?
Darth> Удивляет Не понял мысли. Единственное, что приходит на ум при упоминании пересечения множеств {"арифметика"} и {"модуль"} — это "х" и "-х", а множеств {"арифметика"} и {0; 1} — это дельта Кронекера (ну или теперь про функцию Дирихле узнал вот)
Ну, двоичная арифметика без переноса:
0+0=0
0+1=1
1+0=0
1+1=0
Называется такая ф-ция ещё XOR в Булевой алгебре.
Darth> Жуликоватые правила у вас, скажу вам (это из серии "раз мы этого не понимаем, то это не может быть верно", что горячо обсуждалось как раз в этой самой ветке )
Не, не так. Числами их называют по привычке. На самом деле, это некоторые объекты, которые служат индикаторами/свойствами мощности множества. Поэтому непонимания там нет.
Просто понятия числа уже не хватает.
Darth> Ну так ясное дело! Рискну предположить, что такой же результат получится при попытке померить длину любого более-менее реального объекта (т.е. такого, который со случайной шероховатостью, — что вообще-то должно быть ещё хуже, чем бесконечное самоподобие).
Не, не любого. Только фрактального. Т.е. длина стороны куба, если не переходить на микроуровень, а считать там всё непрерывным, такими свойствами не будет обладать. А вот береговая линия на уровне 1 мм уже выдает совсем другие числа, чем на уровне 100 метров. На многие порядки длинее.
Darth> Ага, только это будет происходить до того момента, пока у пространства, содержащего точку, не "отнимут" последний вектор-базис. Философский вопрос — а что будет с точкой, когда его отнимут? (нульмерное пространство, сингулярность... и тишина-а-а-а... )
Ничего. Точка — она, как кошка, гуляет сама по себе.
Особоенно, обобщённая точка. Вот, когда добавим её в пространство, то точки слудует различать, для этого вводят координаты. Но и тут засада. Вспомни определение конгруэнтности в Евклидовой геометрии.
Darth> Ну это понятно.
А для пространства полиномов?
Darth> Такая метрика для Москвы не характерна: улицы сильно криволинейны — и пробки, пробки, пробки
Там можно ввести другую. Но она будет отлична от обычной и нам привычной с корнем квадратным.
Darth> Хорошая аналогия
А ты видел её, кстати?
Нарисуй куб на бумаге. Он получится вправо или влево. А потом ещё нарисуй куб в другую сторону (т.е., если был влево, то вправо). То же самое надо проделать и вниз, если куб был вверх.
Darth> Не нашёл такого. Везде говорят о способах измерения длины при уже существующем единичном векторе. Куда смотреть?
Хм, это анализ с началами теории меры. Должно быть или в Ильин, Позняке, или в Ильине, Познякове, Сендове. Думаю, что в Кудрявцеве или Фихтенгольце должно быть.
Darth> Вспомнилось: как-то раз попросили меня на пальцах рассказать, что такое сечение захвата нейтронов. Ну я начал рассказывать про энергии нейтронов, про всякие разные вероятности, про коэффициент пропорциональности в показателе экспоненты, и что это на самом деле нифига никакой не круг такой-то площади, но что допустимо умозрительно представлять себе это как площадь такого круга (благо и размерность подходящая) и т.д. Всё это сопровождалось разными наглядными рисунками. При этом достаточно часто я поднимал глаза на собеседника и удостоверялся по его согласному киванию, что он уяснил очередную порцию. Ну и минут, наверное, через десять разговора последовал примерно такой вопрос: "Ну да. Понятно... Только я одного не понял: так а сечение захвата-то — это что?" Я несколько опешил, и в голове почему-то сразу родился ответ: "Ну как... Сечение захвата — это сечение захвата" (Разумеется, озвучен этот ответ не был, и начали по новой — ну совсем уж гуманитарным собеседник оказался...)
Гы, а ты знаешь, что вероятность — это всего одна лишь из мер с точки зрения функционального анализа? А какие страсти кипят вокруг... ЖА