Тут уже ответили. Выглядит все просто, но не всегда все так просто. Кантор, когда вводил правила работы со множествами, очень долго голову ломал. Вообщем сейчас это звучит примерно так:
1. Мощность конечного множества определяется как количество элементов в этом множестве.
2. Есть множества бесконечные. Они деляться на две части - счетные и континуума. Им в соответствие ставяться числа Алеф0 и Алеф. Счетные это те, элементам которых можно поставить натуральный ряд - занумеровать и подсчитать, а континуум это те, элементы которых посчитать нельзя.
Поскольку мощность это число, то на здесь действуют законы транзитивности, что уже было сказано. Но есть два специальных числа, поэтому были введены специальные правила.
Алеф больше Алеф0.
Счетная множество счетных множеств всегда счетно.
Про соответсвия - в математики сплошь и рядом доказательством равенства считается биективное отображение (отображение на и в или сюрекция и инекция - это я так - народ попужать). Поэтому ход стандартный. Например, аналогичный ход - это мажоротация в рядах.
Если не изменяет склероз.
N - натуральные числа
Z - целые числа
Q - рациональные числа
R - действительные числа
Всякие плюсы, звездочки, черточки сверху - это показатели расширения множеств. Иногда просто добавляют элемент, иногда строят замыкания, иногда что-то еще. Это уже целый язык.
Что почитать.
Здесь, к сожалению, простого пути нет. Начинать надо с теории множеств. Но тут надо четко представлять, что на какой-то момент, это очень абстрактная теория. Например, все иллюстрации какого-то множества идут путем перчиления элементов. Потом задания вида {An} - но так задать можно только конечные и счетные множества. А переход к общему множеству происходит не совсем осознано. И тут уже фигурируют R или отрезок [0,1]. В общем сначала интуиция, а потом задачки порешать на бесконечность.
Потом, надо приступать к теории меры и функциональный анализ - для продвинутых только. Это мы проходили целый год на 3-ем курсе. Здесь те самые заморочки работы с бесконечностью, про которые я упоминал. Правила Лапиталя - как раз из таких.
К примеру, бесконечно большая сумма бесконечно малых величин - чему равна? Или одну бесконечно малую величину поделить на другую бесконечно малую. Бесконечно малую помножить на бесконечно большую.
Кстати, это был всегда для меня камень преткновения в физике. Точнее, как нам ее читали - берем ряд и откидываем все члены, кроме двух (трех, четырех, нужное выбрать). И получаем искомое уравнение. А где оценка остатка? Тот же самый натуральный ряд (сумма членов вида 1/N при N пробегающем все натуральные цисла - хотя сумма здесь неправильное слово, поэтому и ряд) - равен бесконечности. Т.е. получаем, что сколь заметного влияния любое конечное количество членов на результат не оказывает.