Разложение дельта-функции в ряд Фурье - вопрос

При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.
Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. По идее, вроде бы, должны получить некий "выброс" (один) конечной высоты и ширины. Но сходу не соображу - как эту ширину оценить? Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?

Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. ....Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?

 

У дельта-функции спектр непрерывный, а не дискретный, поэтому "М первых коэффициентов" вообще смысла не имеют. Дискретный спектр имеют только периодические функции.

Я думал, из контекста ясно, что функция рассматривается на ограниченном интервале
То есть да, это будет, строго говоря, не совсем дельта-функция. Но суть та же.

Я думал, из контекста ясно, что функция рассматривается на ограниченном интервале

 

Не понял. Для дельта-функции любой интервал с конечным значением более чем достаточен. Или имеется в виду приближение к дельта-функции? Но и в этом случае без периодичности спектр непрерывен.

Скажем так: имеется в виду "искусственная периодичность", в результате получается "гребёнка". Т.е. рассматриваем какой-то интервал, на котором находится "выброс" дельта-функции, и полагаем, что этот интервал - период, или полпериода, честной периодической функции-гребёнки.
Всё как обычно

Советую почитать учебник по теории электрических цепей. Ключевое слово - "импульсная характеристика" . Вы по сути дела рассматриваете воздействие дельта-функции на идеальный фильтр, т.е. - импульсную характеристику идеального фильтра. Строго говоря - любая из возможных функций будет бесконечным затухающим колебанием и вы сможете оценить лишь коэффициенты затухания. Есть такая математическая теорема что конечный спектр имеют только бесконечные сигналы.

Если Вы возмете фурье-функцию на промежутке от 0 до W, т.е. идеальный фильтр нижних частот, то дельта-функция предбразуется в функцию sin(Wt)/t (частота взята круговая)

Полностью согласен с предыдущим оратором.

При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.
Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. По идее, вроде бы, должны получить некий "выброс" (один) конечной высоты и ширины. Но сходу не соображу - как эту ширину оценить? Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?

 

Есть такая функция - sin(Ax)/x
Её спектр, как раз, конечен. Дельта-функция получается из неё при устремлении А к бесконечности.

При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.
Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. По идее, вроде бы, должны получить некий "выброс" (один) конечной высоты и ширины. Но сходу не соображу - как эту ширину оценить? Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?

 

Получится выброс, окруженный волночками. Ширина выброса оценочно равна периоду последнего прибавленного члена (если все члены прибавлены правильно). Если интервал конечный, то спектр дискретный. Можно только косинусы складывать, т.к. функция четная. cos(x) + cos(2*x) + cos(3*x) дает приближение на интервале [-pi; pi] с шириной выброса 2*pi/3 (т.е., выброс идет примерно от -1 до 1).

Есть такая функция - sin(Ax)/x
Её спектр, как раз, конечен. Дельта-функция получается из неё при устремлении А к бесконечности.

 

sinc(x) записывается. Очень удобно.

2 Fakir
Для финального штриха напомню, что:

1/2+cos(x)+cos(2x)+...+cos(Nx)=sin((N+1/2)x)/sin(x/2)



А зачем вам такое понадобилось?

При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.

 

Следовательно, какое бы конечное число коэффициентов мы ни взяли, ничего хорошего (похожего на изначальную функцию) мы получить не можем...

U235

Советую почитать учебник по теории электрических цепей. Ключевое слово - "импульсная характеристика" . Вы по сути дела рассматриваете воздействие дельта-функции на идеальный фильтр, т.е. - импульсную характеристику идеального фильтра. Строго говоря - любая из возможных функций будет бесконечным затухающим колебанием и вы сможете оценить лишь коэффициенты затухания. Есть такая математическая теорема что конечный спектр имеют только бесконечные сигналы.

 

Тут мы, очевидно, о разных вещах говорим.
Хотя, пожалуй, мысль любопытная... Импульсная, говорите... Хм... Мож, и удастся подклеить.


Андрей Суворов

Есть такая функция - sin(Ax)/x
Её спектр, как раз, конечен. Дельта-функция получается из неё при устремлении А к бесконечности

 

Спасибо, неплохой вариант
А какие там еще есть удобные приближения?

K. Gornik

Ширина выброса оценочно равна периоду последнего прибавленного члена (если все члены прибавлены правильно).

 

Спасибо, это я уже с утра сообразил
В первом приближении, пожалуй, и такая оценка сойдёт.

Можно только косинусы складывать, т.к. функция четная. cos(x) + cos(2*x) + cos(3*x) дает приближение на интервале [-pi; pi] с шириной выброса 2*pi/3 (т.е., выброс идет примерно от -1 до 1).

 

Косинусы как раз не устраивают, нужны именно синусы (и только синусы). Впрочем, это не проблема, просто смещаем пик - раскладываем не delta(x), а delta(x-а).

AidarM

Для финального штриха напомню, что:

1/2+cos(x)+cos(2x)+...+cos(Nx)=sin((N+1/2)x)/sin(x/2)

 

Не совсем то

А зачем вам такое понадобилось?

 

Да мыслишка в башку взбрела
Связанная с гр. условиями урматов

Следовательно, какое бы конечное число коэффициентов мы ни взяли, ничего хорошего (похожего на изначальную функцию) мы получить не можем...

 

Собссно, меня устроит и отдалённое сходство - если оно не слишком отдалённое

Спасибо, это я уже с утра сообразил
В первом приближении, пожалуй, и такая оценка сойдёт.

Косинусы как раз не устраивают, нужны именно синусы (и только синусы). Впрочем, это не проблема, просто смещаем пик - раскладываем не delta(x), а delta(x-а).

 

Надо именно косинусы. В смысле, оно все равно, конечно, но все функции должны быть синхронизированы в точке максимума, а не в точке нуля, а то вместо дельты получится ее производная.

Ну какие же косинусы, если урмат нужно решать, методом Фурье - граничные условия, как водится, придётся нормализовать, поэтому - только синусы. И какие в этом проблемы? Буду рассматривать delta(x-а) на интервале [0;пи], доопределю руками, как нечётную функцию.