Троичная логика

2 -exec-

OR - объединение множеств. Для двоичной и троичной логик ваша идея пройдет на ура. А вот с остальными... Я еще не знаю, быть может окажется так, что объединение 2-х разных множеств даст какое-то третье...

-exec-, 05.05.2004 13:29:30 :

пока занят работой. закидываю удочку: A OR B интерпретировать как MAX{A, B}. для двоичной логики абсолютно корректная интерпретация.

 

Для Фон-неймановской тоже работать будет, если считать, что 0<=N<=1
(и если AND === MIN )

OR║0│N│1 AND║0│N│1
 ═╬═╪═╪═   ═╬═╪═╪═
 0║0│N│1   0║0│0│0
 ─╫─┼─┼─   ─╫─┼─┼─
 N║N│N│1   N║0│N│N
 ─╫─┼─┼─   ─╫─┼─┼─
 1║1│1│1   1║0│N│1

Кстати, NOT можно интепретировать, как
NOT(x) = (base-1) - x

NOT 0 = 2 - 0 = 2
NOT 1 = 2 - 1 = 1
NOT 2 = 2 - 2 = 0

или

NOT 0 = 1 - 0 = 1
NOT N = 1 - N = N
NOT 1 = 0 - 1 = 0



Т.е. подразумевается дополнение до максимального числа.

Кстати,
NOT 0xA = 15 - 10 = 5
NOT 0x0 = 15 - 0 = 0xF

Работает и для других систем счисления

ИМХО, так. Для сколькоугоднозначной логики

(A and B ) содержится в min(A,B) (может и совпадать)
(A or B ) содержит в себе max(A,B) (может и совпадать)

А уж как там дальше фишка ляжет...

>Кстати, NOT можно интепретировать, как
NOT(x) = (base-1) - x

Операции сложения/вычитания в логике? :o Ежели хотите в предполагаемом ассемблере съэмулировать логическую операцию NOT арифметическими(зачем? из общих соображений тормозить должно), то да. Лучше наоборот, например: хочешь поменять знак у числа - инвертируй его и прибавь единичку.

>Т.е. подразумевается дополнение до максимального числа.
Дополнение до полного множества. (Универсального класса явлений/объектов/утверждений/чего угодно)

AidarM, 05.05.2004 13:58:24 :

Операции сложения/вычитания в логике?

 

А что не нравится? В банарной логике одно выражается через другое. В тринарной, по идее, должно быть также

>Дополнение до полного множества. (Универсального класса явлений/объектов/утверждений/чего угодно)

Угу, точно.

имхо булевы операторы не получится вытянуть на тернарные.

вот один и тот же булевый оператор в разных смыслах:

xor - присутствие либо одного операнда, либо другого. но не одновременно.
проверить присутствие на алфавите {0, 1, 2} можно, но не ясно что возвращать.
на алфавите {null, false, true} проверить можно и иногда ясно что возвращать.
на алфавите {-, 0, +} мне вообще не понятно что делать. если алфавит изоморфен алфавиту {false, undefined, true}, тогда смотреть предыдущий пункт. но с осознанием, что это разные алфавиты.

почему разные? потому, что импликация - это операция сравнения, а для этого требуется упорядоченность алфавита. очерёдность у названных алфавитов разная.

neqv - арифметический оператор. тернарность допустима для {0, 1, 2} и {null, false, true}.

(+)mod2, (+)mod3 - арифметический оператор. тернарность допустима на {0, 1, 2}

думаю как замутить подход к тернарной логике, который я показал ранее для бинарной...

не придумал...

полное множество Arg пар (2) тернарных (3) аргументов имеет мощность 3²=9.

полное множество тернарных (3) функций F(Arg) над множеством Arg имеет мощность 3^|Arg| = 3⁹ = 19683.

итого 19683 разнообразных тернарных функций от двух тернарных аргументов.

получается примерно так:

1. ----+-----------------+-------------------
2. ____|0 1 2 0 1 2 0 1 2|A, первый аргумент
3. _№Ф_|0 0 0 1 1 1 2 2 2|B, второй аргумент
4. ----+-----------------+-------------------
5.    0|0 0 0 0 0 0 0 0 0|тождественный ноль
6.    1|0 0 0 0 0 0 0 0 1|
7.    2|0 0 0 0 0 0 0 0 2|
8.    3|0 0 0 0 0 0 0 1 0|
9.    4|0 0 0 0 0 0 0 1 1|
10.    5|0 0 0 0 0 0 0 1 2|
11.    6|0 0 0 0 0 0 0 2 0|
12.    7|0 0 0 0 0 0 0 2 1|
13.    8|0 0 0 0 0 0 0 2 2|
14.    9|0 0 0 0 0 0 1 0 0|
15.   10|0 0 0 0 0 0 1 0 1|
16.   11|0 0 0 0 0 0 1 0 2|
17.   12|0 0 0 0 0 0 1 1 0|
18.   13|0 0 0 0 0 0 1 1 1|
19.   14|0 0 0 0 0 0 1 1 2|
20.   15|0 0 0 0 0 0 1 2 0|
21.   16|0 0 0 0 0 0 1 2 1|
22.   17|0 0 0 0 0 0 1 2 2|
23.   18|0 0 0 0 0 0 2 0 0|
24.   19|0 0 0 0 0 0 2 0 1|
25.   20|0 0 0 0 0 0 2 0 2|
26.   21|0 0 0 0 0 0 2 1 0|
27. .......................
28.  264|0 0 0 1 0 0 2 1 0|импликация?*
29. .......................
30. 3936|0 1 2 1 0 1 2 1 0|неравенство?**
31. .......................

в таблицу влезла только одна известная поименованная функция.
строчка * может быть расширением импликации, в том случае, если двоичную и троичную импликацию определить как "усечённая разность второго и первого аргументов".

гы! если двоичный xor назвать ещё и симметричной разностью аргументов, то строчка ** как раз он и есть.

Balancer
>А что не нравится? В банарной логике одно выражается через другое. В тринарной, по идее, должно быть также

Да как сказать... Сложение(не объединение, не OR) - арифметика уже - более сложная и частная весч... Конечно, она(арифметика) эмулируется логикой. Но это уже потом, когда логика отлажена. (Не от слова 'лажа'. ) А про операцию сложения в логике я не слышал. Это впрочем, не аргумент.

Может, я вас не понял. А может, чего-то не знаю.

В чем глючность сложения, например. Если задан базис в виде {0,1,2}, и мы пробегаем по нему, прибавляя к операнду единицу, то этим мы неявно требуем, что множество 0 можно дополнить до 1, добавив к нему множество 1. Ну, ладно, если 0 - пустое множество, то все ОК. Но с чего мы взяли, что множество 1 можно дополнить до полного, универсального, прибавив к нему его же? :o В логике объединение 1 с 1 должно дать 1. Ничто само себя не дополняет.

Так что, если сложение в логике где-то есть - научите/вылечите меня, плииз.

-exec-
>имхо булевы операторы не получится вытянуть на тернарные.
Гы, а придется... Шутка. Что придумается, то и включим.

>вот один и тот же булевый оператор в разных смыслах:
>xor - присутствие либо одного операнда, либо другого. но не одновременно.

Замечание Anika от 15.09.2003 16:42:36 вообще-то остается в силе.
>Никакого ксора в троичной логике нет и быть не может: ксор - понятие "чисто конкретно" из двоичной логики.

Есть XOR - просто старое название. Его можно вообще выкинуть. Я решил, что мой XOR будет указывать на те элементы(множеств-аргументов), к-рые не являются общими для его аргументов. Как вы свой XOR сами доопределите в расширенной логике, так и будет.

ИМХО, {0,1,2} - не самое удачное обозначение - математика, засевшая в голове, с толку сбивает. Как бы заранее подразумеваются операции сравнения и упорядочения по значениям(не по порядку, как для импликации) аргументов. И операции сложения/вычитания, глюки этого см. выше. А это, ИМХО, криминал. Это ужо не логические операции будут. В логике можно сравнивать на идентичность/неидентичность.

>на алфавите {null, false, true} проверить можно и иногда ясно что возвращать.
>на алфавите {-, 0, +} мне вообще не понятно что делать.
Лично я взял этот просто с потолка. '-' пустое множество. '+' - полное множество. '0' - неконтролируемое. В быту можно интерпретировать как 'нет данных'. Известно, что '0' содержит в себе '-' и само содержится в '+'.
> если алфавит изоморфен алфавиту {false, undefined, true}, тогда смотреть предыдущий пункт. но с осознанием, что это разные алфавиты.
Адын к аднаму.

>почему разные? потому, что импликация - это операция сравнения, а для этого требуется упорядоченность алфавита. очерёдность у названных алфавитов разная.

Про импликацию я пока вообще молчу. Хотя доопределить ее - пара пустяков. Импликация - не операция сравнения. Она требует упорядоченности своих операндов, но не алфавита. Насколько я знаю. В любом случае, {-,0,+} - упорядоченный. В нем задано, что в чем содержится.

>neqv - арифметический оператор. тернарность допустима для {0, 1, 2} и {null, false, true}.

В смысле? neqv - операция проверки на неидентичность? Канэшна сработает. В скольугоднозначной логике, ИМХО.

>(+)mod2, (+)mod3 - арифметический оператор. тернарность допустима на {0, 1, 2}

Непонятно, что это тут написано?...

AidarM:

-exec-
>имхо булевы операторы не получится вытянуть на тернарные.
Гы, а придется...

 

попробуйте
я как раз закончил размышлять и редактировать свой предыдущий постинг

AidarM:

>(+)mod2, (+)mod3 - арифметический оператор. тернарность допустима на {0, 1, 2}
Непонятно, что это тут написано?...

 

"(A+B) mod 2" написано и "(A+B) mod 3".

AidarM:

Как вы свой XOR сами доопределите в расширенной логике, так и будет.

 

это тоже недетерминированность тернарной логики

AidarM:

ИМХО, {0,1,2} - не самое удачное обозначение - математика с толку сбивает. Как бы заранее подразумеваются операции сравнения и упорядочения по значениям(не по порядку, как для импликации) аргументов. А это, ИМХО, криминал. Это ужо не логические операции будут. В логике можно сравнивать на идентичность/неидентичность.

 

то есть вы предлагаете упорядение по значениям не использовать. а вместо этого использовать "упорядочение по порядку".

алфавит {0, 1, 2} удобен тем, что он сразу упорядочен. его можно отобразить на {false, undefined, true}, {-, 0, +} без проблем. зато сразу понятно как делать ту же импликацию

AidarM:

Ничто само себя не дополняет.

 

тапки и носки сами себя дополняют, блим!

AidarM:

> если алфавит изоморфен алфавиту {false, undefined, true}, тогда смотреть предыдущий пункт. но с осознанием, что это разные алфавиты.
Адын к аднаму.

 

я имею в виду алфавиты {false, undefined, true} и {undefined, false, true}.

[Сергей:]

PS Тут говорилось, что данные соображения будут нести другой смысл, если мы говорим не о тернарной арифметике, а о тернарной логике. Может кто-нибуть мне это объяснить? Скажем, когда мы говорим о бинарной логике и бинарной арифметике - в чем разница?

 

алфавитами {false, [undefined], true} и {0, 1, [2]}.
вы верно подметили, что алфавиту упорядоченности не требуется. я запарился.
если в логике определена импликация как следование, то это упорядочивает алфавит.

>Почему же не произвольного-то?

Потому что отношения между элементами алфавитов для логик с разным основанием разные.

>PS Тут говорилось, что данные соображения будут нести другой смысл, если мы говорим не о тернарной арифметике, а о тернарной логике. Может кто-нибуть мне это объяснить? Скажем, когда мы говорим о бинарной логике и бинарной арифметике - в чем разница?

Например в том, что в арифметике можно, прибавляя единицу, пробежать по всем элементам. А в логике сложения по моему нет. Есть объединение и пересечение, например. Так вот, сколько раз 1 с 1 ни объединяйте, 2 вы не получите. В арифметике вы можете сказать, что 2 отличается от 1 на единицу. 1 от 0 - на столько же. А в логике надо указывать, чем именно отличается '+' от '0' и '0' от '-'.

Вот функцию, указывающую на это я обозвал XOR. -exec- может другой XOR сочинит.

Вопрос 'на сколько именно отличается' - уже не логический. Арифметический.

-exex->я как раз закончил размышлять и редактировать свой предыдущий постинг

И я

>"(A+B) mod 2" написано и "(A+B) mod 3".

Вах, опять арифметика.

>то есть вы предлагаете упорядение по значениям не использовать. а вместо этого использовать "упорядочение по порядку".

Я имел в виду, что конкретно для импликации важен порядок следования аргументов. А упорядоченность самого алфавита вовсе не нужна.

>алфавит {0, 1, 2} удобен тем, что он сразу упорядочен. его можно отобразить на {false, undefined, true}, {-, 0, +} без проблем. зато сразу понятно как делать ту же импликацию

Я не совсем прав, в тернарной логике упорядочение все же есть. А вот в... блин... квадрарной? 4хзначной? Есть пустое множество, есть полное и 2 его подмножества. Скажем, A и Not(A). Как их упорядочить?
Можно, конечно, предложить куда более кривую логику с упорядочением. Задать множества в виде матрешки. Пустое(содержится везде), A содержится в B, но не совпадает с ним, и B - содержится в полном.

Только второй вариант не сработает, ИМХО. И вот почему: Операцию B xor A не удастся провернуть. Not(A), Not(B) - тоже. Не будет таких символов в 4значной логике. 2-й вариант - не логика, а х.з. что.

Короче, таких 'матрешек' в высших логиках быть не должно.
И еще непонятно, как эти высокозначные логики применять... Надо хотя бы с тернарной разобраться для начала. А там уже устремим N - в бесконечность.

Тут все ИМХО. На всякий случай повторю предупреждение: в этой области я - полуграмотный чайник.

>Что за такие "отношения" между элементами алфавитов? Какие "отношения" между 1 и 0 (true-false, брито-стрижено етс) наличествуют? Лично мне всегда казалось, что отношение только одно - эти элементы должны быть различными (а вот упорядоченность - не нужна). Если это не так - дайте, пожалуйста, примерчик.

false(0) содержится в true(1), например.

1 - полное множество. 0 - пустое.

>Почему?
Потому что в арифметике так заведено. Она - частный случай, навороченный доп. операциями. В т.ч. и сравнениями. Логика и ее операции иллюстрируются теорией множеств. А там операций и отношений поменьше будет, чем в арифметике. Еще раз

>Кто мне помешает, скажем, в тернарной логике назвать функцию от двух аргументов, которая переводит:
Никто.

>А самое главное - что изменится оттого, что я ее назвал "функция модуль", а не "Вася Пупкин"?
Ничто. Важно, какой смысл вы в это вкладываете.

>И что изменится, если вместо "алфавита" 0,1,2 я возьму алфавит "a,b,c"?
Ничто не изменится.

>От этого мне потребуется вводить упорядоченность алфавита? Почему? Я никак не могу врубиться.

Хм. Упорядоченность упорядоченности рознь. В троичной логике я упорядоченность указал. Она несколько иная, нежели в арифметике. В логике можно сказать: А содержится/не содержится в В. А пересекается/непересекается в В. Но нельзя сказать, что в А влезает ровно 2 штуки В.

>PS Если уж говорить о "различиях" между "арифметикой" и "логикой" то "арифметика" - частный случай "логики" (с введением некоторых "выделенных операций", в частности), а никак не наоборот.
Да.

>Соответственно, если арифметика дает нам какой-то вывод, то и логика даст тот же.
В логике может не быть тех самых соотношений между объектами(дополнительных), с помощью которых нам дает ответ арифметика. Пример: А в 2 раза больше B. В логике это просто неконтролируется.

ИМХО, так.

AidarM, 05.05.2004 10:02:06 :

2 Anika
Чтобы вас поправить, нужно хотя бы вас понять. Мне не везде это удалось. Для логики имеет смысл ИМХО говорить лишь об одноразрядной функции. Многоразрядные уже можно будет получать тупым распараллеливанием.

 

Имелась в виду не одноразрядная функция, а функция одного переменного. Простейший элемент - один вход, один выход.

AidarM, 05.05.2004 10:02:06 :

2 Anika
Насчет базиса не уяснил. Как я понял, в бинарной логике минимальные базисы: гейт И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Как вы получили минимальный тернарный б-с я не понял. Как и последовавшую за этим большую таблицу.

 

Насчет базиса - я предположил, что любой такой элемент заменяется последовательным включением нескольких элементов, выбранных из четырех базисных типов.
И я нарисовал один из вариантов таблицы включений.
Надеюсь, теперь понятнее.

2ALL: не забывайте, что троичная арифметика просто не может быть беззнаковой. Поэтому обозначения типа "0, 1, 2" сбивают с толку.

>Почему? То есть я понимаю - вы, разумеется, можете вводить любой "физический смысл" на данные абстракции, но почему их после этого можно использовать для определения логики? Что изменится, если я скажу, что напротив, true содержится в false и что как раз 0 - полное множество, а 1 - пустое? Какие из этого будут выводы "на уровне логики"? Функций будет больше (или меньше)?

Эти конструкции могут(если вы не просто обозначения меняете) перестать соотноситься с реальностью. Определенный смысл все же нужен, логика - не просто любой набор любых функций от N дискретных переменных.

Ситуация такая. Есть эксперимент, дающий нам истинные знания. Вводятся(постулировано Аристотелем, он путем наблюдений, т.е. опять экспериментально их сформулировал) правила мышления - правила логики. Их смысл в том, что при истинных предпосылках и правильном(т.е. в согласии со сформулированными логич. правилами) мышлении вывод также будет истинным. Т.е. в идеале не надо ставить эксперимент, чтобы знать его результат и предсказывать его. Т.е. в идеале при истинности входа истинность вывода проверять не надо.

Эти правила ни разу не лажанулись до сих пор. Вся наука на них стоит. И мышление вообще - по этим правилам действует наблюдаемая нами Вселенная.

Так вот, эти Аристотелевы правила отражены в бинарной булевой алгебре, базирующейся на теории множеств. Она также отражена в качестве правил выполнения логич. команд в микропроцессорах, например. Эти правила должны быть сохранены для логик с любым основанием. Т.к. они - основа правильного мышления.

Поэтому когда мы сочиняем, скажем, 3аргументные функции, ИМХО, стоит пояснять, что мы этим новым гейтом хотим добиться. Какую ситуацию хотим отработать. Если вводим основание 3 - должны сказать, что именно мы подразумеваем под 0,1 и 2.

Именно по этой причине я считаю, что любую скольугоднозначную логику можно съэмулировать на бинарной. Поскольку мы сами(я по крайней мере) размышлять умеем только по Аристотелю.

Тут все ИМХО.

[Сергей:],05.05.2004 17:50:22

Я здесь получаюсь главный невежда, похоже - все только спрашиваю... Ну объясните мне, пожалуйста, КАК ИМЕННО она не может быть беззнаковой?! Почему булева - может быть и обозначения "0", "1" с толку Вас не сбивают, а в троичной - сбивают? Какая связь-то? То, что элементы реализованы в схеме "положительный ток, нет тока, отрицательный"? Или что-то еще более философское.

 

Я говорю не о логике, а о арифметике, подмножество которой - логика.
А как она (арифметика) может быть беззнаковой?
Выразите, пожалуйста, числа 2 и 3 в одной и той же беззнаковой троичной арифметике.

дупа...