Ян Стюарт, "Концепции современной математики", 1980 (английское издание 1975)
Когда-то давным-давно родители могли помогать своим детям
делать уроки. «Модернизация» школьного курса математик!
сильно уменьшила эту возможность; родителям, которые вс
же не захотят отказаться от таких намерений, придется самим
осваивать массу нового материала, который будет казаться ИМ|
как правило, странным и ненужным. Один мой друг — учи
тель — рассказывал, что его ученики шумно требовали, чтобы
их учили «настоящей математике,— той, которой учили их мам
и пап». Этот интересный факт, кстати, проливает дополнитель-
ный свет на то, как у детей формируются мнения. Многие учи-
теля тоже считают, что научиться математике нового стил
очень трудно.
И это весьма печально. Новые программы по математик»
вводились с целью содействовать лучшему пониманию этого
предмета взамен бездумного манипулирования символам!
Ведь настоящий математик работает не с числами, а с
поня тиями.
Интуиция и формализм Тенденция ко все большей общности сопровождается
ростом требований, предъявляемых к логической строго-
сти. Евклида теперь критикуют за отсутствие в его систе-
ме аксиомы о том, что всякая прямая, проходящая через
точку внутри треугольника, должна где-то пересечь тре-
угольник.
Эйлерово определение функции как «кривой,
свободно проведенной от руки» портит математикам всю
игру и страдает к тому же неопределенностью (что такое
«кривая»?).
Однако в заботе о логической безупречности
легко хватить через край, заменив словесные рассужде-
ния потоком логических символов и слепым применением
стандартных приемов. В этом направлении можно далеко
зайти (а тут и не слишком далеко — уже весьма далеко)
и вместо того, чтобы углубить понимание, начисто его
утратить. В то же время требование большей строгости — не
пустая прихоть. Чем сложнее и обширнее становится
предмет, тем важнее выработать критический подход к
нему. Социолог, пытающийся осмыслить массив стати-
стических данных, вынужден отказаться от тех из них,
которые получены в результате недобросовестных экспе-
риментов или сомнительных выводов. То же происходит
и в математике. Слишком часто «очевидное» оказыва-
лось неверным. Существуют геометрические фигуры, не
имеющие площади. Согласно Банаху и Тарскому 2, мож-
но разрезать круг на пять частей и сложить из них два
круга того же размера, что исходный. С точки зрения по-
нятия площади это невозможно, но дело в том, что эти
части не имеют площади.
Логическая строгость оказывает сдерживающее воз-
действие, неоценимое в опасных обстоятельствах, а так-
же тогда, когда речь идет о тонкостях. Существуют тео-
ремы, в справедливости которых убеждены большинство
математиков, и тем не менее, пока их кто-нибудь не дока-
жет, они останутся необоснованными предположения-
ми и могут применяться только в роли предположений.
Особое внимание к строгости необходимо при доказа-
тельстве невозможности чего-либо. То, что невозможно
сделать одним способом, иногда легко выполнить другим,
поэтому на всех этапах такого рода доказательств тре-
буется большая аккуратность. Существуют доказатель-
ства неразрешимости в радикалах уравнений пятой сте-
пени и доказательства невозможности трисекции угла
при помощи циркуля и линейки. Это важные теоремы,
так как они перекрывают пути бесполезных изысканий.
Но если нам нужна уверенность в том, что подобные
поиски действительно бесплодны, наша логика должна
быть безупречной.
Доказательства невозможности весьма характерны
для математики. Ведь это, пожалуй, единственный'пред-
мет, который полностью отдает себе отчет в сеоих огра-
ничениях. Временами это становится наваждением, и
люди тратят больше сил на то, чтобы доказать невозмож-
ность какого-то построения, чем на то, чтобы найти спо-
соб его выполнить! Если бы самопознание было добро-
детелью, математики могли бы образовать племя святых.
Однако логика — это еще не все. Никакая формула
сама по себе никогда еще ничего не подсказала. Логика
может применяться для решения задач, но она не под-
скажет нам, какие задачи стоит решать. Никому еще не
удалось формализовать значение. Чтобы понять, что
имеет значение, а что нет, требуется опыт, а еще то труд-
но определимое качество интеллекта, которое называют
интуицией.
Я не могу объяснить, что я сам понимаю под интуи-
цией. Просто это то, чем живет настоящий математик
(или физик, инженер, поэт). Интуиция позволяет ему
«ощущать» свой предмет, видеть, что теорема верна, еще
не зная ее формального доказательства, а потом приду-
мывать это доказательство.
Практически каждый человек в какой-то мере обла-
дает математической интуицией. Ею наделен ребенок,
складывающий картинку из кубиков, ею обладает вся-
кий, кому удалось уложить вещи в багажник автомобиля,
перед тем как всей семьей отправиться на нем в отпуск.
Главной целью подготовки математиков следовало бы
сделать оттачивание их интуиции до такой степени, что-
бы она превратилась в управляемое орудие исследо-
вания. Много бумаги истрачено на споры о преимуществе
строгости перед интуицией и, наоборот, интуиции перед
строгостью. Обе эти крайности бьют мимо цели: вся сила
математики — в разумном сочетании интуиции и строго-
сти. Контролируемый дух и вдохновенная логика! Все мы
знаем людей блестящих способностей, идеи которых ни-
когда не воплощались в конкретные результаты, и дру-
гих — организованных и аккуратных, которые так и не
создали ничего стоящего, потому что были слишком за-
няты тем, чтобы все было аккуратно и организованно.
Надо избегать обеих крайностей.
О картинках При изучении математики психологический аспект
часто важнее логического. Мне приходилось присутство-
вать на лекциях, в которых все было потрясающе логич-
но, но слушатели ничего не понимали. Интуитивные со-
ображения должны выступать первыми и лишь потом
подкрепляться формальным доказательством. Интуитив-
ные рассуждения позволяют нам понять, почему должна
быть верной та или иная теорема, а затем уже при помо-
щи прочных логических обоснований можно убедиться,
что она действительно справедлива.
В последующих главах я буду стараться подчеркивать
интуитивную сторону математики. Вместо строгих дока-
зательств я попытаюсь дать читателю представление о
лежащих в их основе идеях. В хороших учебниках долж-
но было бы быть и то, и другое, но, к сожалению, лишь
немногие из них отвечают этому идеалу.
Некоторые математики, может быть 10 из 100, мыслят
формулами. Такова их интуиция. Но остальные мыслят
образами: их интуиция геометрическая. Картинки несут
гораздо больше информации, чем слова.
В течение мно-
гих лет школьников отучали пользоваться картинками,
потому что «они не строгие». Это печальное недоразуме-
ние. Да, они не строгие, но они помогают думать, а тако-
го рода помощью никогда не следует пренебрегать.
...
Геометрия в стиле Евклида (а до недавнего времени
только с ней и сталкивалось большинство людей) не о…
Дальше »»»
Это сообщение редактировалось 24.05.2024 в 17:25